因为线性代数作业写到第六章时发现很多性质都不清楚，故总结一下。
特征值与特征向量
定义
特征方程 $|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=0$
最高次项系数为$1$
$\boldsymbol A$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量就是齐次线性方程组
$$\begin{equation} (\lambda_i \boldsymbol E_n-\boldsymbol A)\boldsymbol X=\boldsymbol 0 \label{1} \end{equation} $$
的非零解（故可以通过同解的其他方程简化求解过程）
特征子空间 $\eqref{1}$ 的解空间 $N(\lambda_1\boldsymbol E_n-\boldsymbol A)$ 为 $\boldsymbol A$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间
性质
-
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=\tr(\boldsymbol A)$
-
$\displaystyle\prod_{i=1}^n\lambda_i = |\boldsymbol A|$
-
$f(\lambda)$ 是 $f(\boldsymbol A)$ 的特征值
-
$\boldsymbol A$ 的不同特征值对应的线性无关的特征向量的集合构成的向量组依旧线性无关
$\Rightarrow$ 不同特征值对应的特征向量线性无关
相似矩阵
定义 $\boldsymbol B=\boldsymbol T^{-1}\boldsymbol {AT}$，$\boldsymbol T$ 可逆，称 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 相似，记作 $\boldsymbol A\thicksim \boldsymbol B$；称 $\boldsymbol T$ 为相似变换矩阵
相似变换是一种等价关系：满足自反性、对称性、传递性
若 $\boldsymbol A\thicksim \boldsymbol B$，则 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 的特征多项式相同
$\Rightarrow$ 若 $\boldsymbol A\thicksim \boldsymbol B$，则 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 的特征值相同（反之未必成立）
$\Rightarrow$ 若 $\boldsymbol A\thicksim \boldsymbol B$，则 $\tr(\boldsymbol A)=\tr(\boldsymbol B)$，$|\boldsymbol A|=|\boldsymbol B|$
若 $\boldsymbol A \thicksim \mathrm{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}$，则 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $\boldsymbol A$ 的 $n$ 个特征值
相似变换中的不变量 秩、迹、行列式
相似对角化
$\boldsymbol A \thicksim \mathrm{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}\Leftrightarrow\boldsymbol A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，
$\boldsymbol T^{-1}\boldsymbol {AT}=\boldsymbol D=\mathrm{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\}\Leftrightarrow \boldsymbol T$ 的列向量组 $\boldsymbol t_1,\boldsymbol t——2,\cdots,\boldsymbol t_n$ 是 $\boldsymbol A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，且对应的特征值依次为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$
如果 $n$ 个特征值互不相等，则 $\boldsymbol A$ 与对角矩阵相似
几何重数与代数重数
定义 $\lambda_0$ 为特征方程的 $m$ 重根，则称 $m$ 为 $\lambda_0$ 的代数重数；$\dim(\lambda_0\boldsymbol E-\boldsymbol A)$ 为几何重数
矩阵的特征值的几何重数小于等于它的代数重数
定理 复矩阵 $\boldsymbol A$ 可相似对角化的充要条件是 $\boldsymbol A$ 的每一特征值的代数重数与几何重数相等
二次型
$$\begin{split} f(x_1, x_2, \cdots, x_n)= a_{11}x_1^2 &+2a_{12}x_1x_2 &+2a_{13}x_1x_3 &+\cdots &+2a_{1n}x_1x_n\\ &+a_{22}x_2^2 &+2a_{23}x_2x_3 &+\cdots &+2a_{2n}x_2x_n\\ &+\cdots & & & \\ & & & &+a_{nn}x_n^2 \end{split} $$
写成矩阵形式
$$f(\boldsymbol X)=\boldsymbol X'\boldsymbol{AX} $$
注意：定义二次型的矩阵时规定了 $\boldsymbol A$ 为对称矩阵，但实际上要表示这个二次型，$\boldsymbol A$ 不一定要是对称矩阵，这种取法只是一个便于研究的特殊情况
二次型可以由正交替换变为标准型，但是不一定能变为规范型
矩阵的合同
设一个可逆矩阵 $\boldsymbol C$，进行变换 $\boldsymbol X=\boldsymbol {CY}$（称为非退化线性变换或者可逆线性变换，实际上是坐标变换），则 $\boldsymbol Y=\boldsymbol C^{-1}\boldsymbol X$，则二次型变换为
$$f(\boldsymbol X)=(\boldsymbol {CY})'\boldsymbol{A}(\boldsymbol{CY})=\boldsymbol Y'(\boldsymbol C'\boldsymbol {AC})\boldsymbol Y $$
令 $\boldsymbol B=\boldsymbol C'\boldsymbol{AC}$，显然 $\boldsymbol B$ 为实对称矩阵
称矩阵 $\boldsymbol A,\boldsymbol B$ 合同，记作 $\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$
实对称矩阵
性质
- 特征值都是实数
- 对应于不同特征值的实特征向量必正交（在特征子空间选取正交基则可得到正交特征向量组）
- 特征值的几何重数与代数重数相等
- 互不相同的特征值的几何重数之和为 $n$
- 惯性定律 同一个实二次型的标准型中的正系数、负系数及零系数的个数不因实可逆线性变换的不同而改变
- 正惯性系数和负惯性系数相同的实对称矩阵合同
实对称矩阵的相似对角化
设 $\boldsymbol A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则存在 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol P$，使得
$$\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol {AP}=\mathrm{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n\} $$
其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots,\lambda_n$ 是 $\boldsymbol A$ 的 $n$ 个特征值
注意证明过程：
- 将 $\boldsymbol A$ 的属于 $\lambda_i$ 的 $r_i$ 个线性无关的特征向量规范正交化
已知 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量，可以利用正交 + 同解 求其他特征向量
由于正交矩阵 $\boldsymbol P^{-1}=\boldsymbol P'$，故正交矩阵与对角矩阵合同
矩阵的正定与负定
正定（负定）矩阵一定是实对称矩阵
定义 设有 $n$ 元二次型 $f=\boldsymbol X'\boldsymbol {AX}$ 如果对 $\boldsymbol R^n$ 中任何列向量 $\boldsymbol X\neq \boldsymbol 0$ 都有 $f>0$ 则称 $f$ 为正定二次型，$\boldsymbol A$ 为正定矩阵
实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 正定，$f$ 为正定二次型
$\Leftrightarrow$ $f$ 标准型中的 $n$ 个系数都为正数
$\Leftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 的特征值都为正数
$\Leftrightarrow$ 存在实可逆矩阵 $\boldsymbol Q$ 使得 $\boldsymbol A=\boldsymbol Q'\boldsymbol Q$
$\Leftrightarrow$ $\boldsymbol A$ 的各阶顺序主子式都大于零