引言·低阶常系数齐次线性微分方程通解公式推导
我们知道一阶常系数齐次线性微分方程的形式为
$$y'+ay=0 $$
利用关系式
$$\displaystyle y'+f(x)y=\frac{(ye^{\int f(x)dx})'}{e^{\int f(x)dx}} $$
我们很容易得出 $y=Ce^{-ax}$
二阶常系数齐次线性微分方程的形式为
$$y''+ay'+by=0 $$
此时一个很自然的想法是降阶，由此利用待定系数法可以得出
$$(y'-r_1y)'-r_2(y'-r_1y)=y''-(r_1+r_2)y'+r_1r_2y=0 $$
注意到 $r_1, r_2$ 为方程 $r^2+ar+b=0$ 的两个根，我们将这个方程称为这个微分方程的特征方程，$r_1,r_2$ 为微分方程的特征根
于是运用换元 $p=y'-r_1y$ 我们有
$$p'-r_2p=0 $$
所以
$$\begin{aligned} p&=Ce^{r_2x}\\ &=y'-r_1y=\frac{(ye^{-r_1x})'}{e^{-r_1x}} \end{aligned} $$
进而当 $r_1 \neq r_2$ 时，有
$$y = \frac{C}{r_2-r_1}e^{r_2x}+C_1e^{r_1x}=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} $$
而当 $r_1 = r_2$ 时，有
$$y = (C_1+xC_2)e^{rx} $$
其中 $r=r_1=r_2$.
TIP
$r_1,r_2$ 前面使用负号是为了让结果好看（使得构造式中的 $r_1,r_2$ 就是特征根），实际上正负都无所谓
高阶常系数齐次线性微分方程的通解
从之前二阶时候的推导方式我们可以猜测：高阶常系数齐次线性微分方程的也可以通过特征根构造降阶。
$n$ 阶常系数齐次线性微分方程
$$y^{(n)}+P_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+P_1y'+P_0y=0 $$
的特征方程为
$$\begin{equation} r^n+P_{n-1}r^{n-1}+\cdots+P_1r+P_0=0\label{Eq.1} \end{equation} $$
假设方程的 $n$ 个根分别为 $r_1,r_2,\cdots,r_n$，则有
$$(r-r_1)(r-r_2)\cdots(r-r_n)=0 $$
将其展开有
$$\begin{aligned} r^n+P_{n-1}r^{n-1}+\cdots+P_1r+P_0 & = r^n &\\ & + r^{n-1}[-r_1-r_2-\cdots-r_n]&\\ & + r^{n-2}[(-r_1)(-r_2)+(-r_1)(-r_3)+\cdots+(-r_{n-1})(-r_n)]&\\ &\;\;\vdots &\\ & + r\sum_{i=2}^{n}\left(\prod_{j=1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}r_j\right)&\\ & + \prod_{i=1}^nr_i& =0 \end{aligned} $$
此时仿照二阶情况，令
$$f_1=y'-r_1y $$
尝试换元，得
$$f_1(r_2r_3\cdots r_n)+f_1'(\prod_{从 r_2, r_3, \cdots, r_n 中任选 n-2 个}r_i) + \cdots +f_1^{(n-1)}= 0 $$
TIP
本步最关键的就是在每一项前面乘一个系数使得换元后的式子与原方程等价
最关键的一步来了，注意到换元后的 $n-1$ 阶常系数齐次线性微分方程的特征根为 $r_2,r_3,\cdots,r_n$
TIP
这里我真是注意到的，将 $\eqref{Eq.1}$ 式的第一个因子去掉之后再执行展开，系数与这个 $n-1$ 阶方程完全一致，进而马上得出特征根
于是我们就可以通过一系列换元
$$\begin{array}{left} f_1&=y'-r_1y&=\displaystyle\frac{(ye^{-r_1x})'}{e^{-r_1x}}\\ f_2&=f_1'-r_2f_1&=\displaystyle\frac{(f_1e^{-r_2x})'}{e^{-r_2x}}\\ &\;\vdots\\ f_n&=f_{n-1}'-r_nf_{n-1}&=\displaystyle\frac{(f_{n-1}e^{-r_nx})'}{e^{-r_nx}}\\ \end{array} $$
将微分方程化为 $f_n=0$ 的形式，再来依次积分求解
DANGER
之前未考虑 $r_i=r_j$ 的情况，现已修正
特征根两两不相等
当 $r_i\neq r_j(i \neq j;i,j=1,2,\cdots,n)$ 时，有
$$\begin{equation} \begin{array}{left} f_{n-1}&=\displaystyle\frac{(f_{n-2}e^{-r_{n-1}x})'}{e^{-r_{n-1}x}}&=C_1e^{r_nx}\\ f_{n-2}&=\displaystyle\frac{(f_{n-3}e^{-r_{n-2}x})'}{e^{-r_{n-2}x}}&=\frac{C_1}{r_n-r_{n-1}}e^{r_nx}+C_2e^{r_{n-1}x}\\ &\;\vdots\\ y& &=\widetilde{C_1}e^{r_nx}+\widetilde{C_2}e^{r_{n-1}x}+\cdots+\widetilde{C_n}e^{r_{1}x}\\ \end{array} \label{Eq.2} \end{equation} $$
即 $y$ 为 $e^{r_ix}$ 的线性组合
特征根出现重根
注意到
$$\begin{equation} \displaystyle\int(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{rx}dx=(\widetilde{C_1}+\widetilde{C_2}x+\cdots+\widetilde{C_k}x^{k-1})e^{rx} \label{Eq.3} \end{equation} $$
即上式左侧积分后形式不变。
不妨假设递推式组 $\eqref{Eq.2}$ 中 $r_{n}=r_{n-1}=\cdots=r_{n-k+1}=r$ 是特征方程的一个 $k$ 重根，则
$$\begin{array}{left} f_{n-1}&=\displaystyle\frac{(f_{n-2}e^{-rx})'}{e^{-rx}}&=C_1e^{rx}\\ f_{n-2}&=\displaystyle\frac{(f_{n-3}e^{-rx})'}{e^{-rx}}&=(C_1x+C_2)e^{rx}\\ &\;\vdots\\ f_{n-k}&=\displaystyle\frac{(f_{n-k-1}e^{-r_{n-k}x})'}{e^{-r_{n-k}x}}&=(C_1x^{k-1}+C_2x^{k-2}+\cdots+C_k)e^{rx} \end{array} $$
化简得
$$(f_{n-k-1}e^{-r_{n-k}x})'=(C_1x^{k-1}+C_2x^{k-2}+\cdots+C_k)e^{(r-r_{n-k})x} $$
对两边积分，由 $\eqref{Eq.3}$ 得
$$f_{n-k-1}=(C'_1x^{k-1}+C'_2x^{k-2}+\cdots+C'_k)e^{rx}+C_{k+1}e^{r_{n-k}x} $$
如果还有重根，则积分后和式左边形式不变，重根对应项次数 $+1$.
假设特征方程有 $m$ 个不同的特征根 $r_1, r_2, \cdots,r_m$，重数分别为 $k_1, k_2, \cdots. k_m$，则
$$\begin{array}{left} y=& &(C_{11}+C_{12}x+\cdots+C_{1k_1}x^{k_1-1})e^{r_1x}\\ &+&(C_{21}+C_{22}x+\cdots+C_{2k_2}x^{k_2-1})e^{r_2x}\\ &\;\vdots&\\ &+&(C_{m1}+C_{m2}x+\cdots+C_{mk_m}x^{k_m-1})e^{r_mx}\\ \end{array} $$
其中 $k_1+k_2+\cdots+k_m=n$